阿贝尔范畴中的构型. III. 稳定性条件与恒等式

这是关于阿贝尔范畴 A 中构型的系列论文 math.AG/0312190、math.AG/0503029、math.AG/0410268 中的第三篇。给定一个有限偏序集 (I,<),一个 (I,<)-构型 (\sigma,\iota,\pi) 是 A 中满足某些公理的一族对象 \sigma(J) 以及态射 \iota(J,K) 或 \pi(J,K) : \sigma(J) --> \sigma(K) 的有限集合,其中 J,K 是 I 的子集。构型描述了 A 中对象 X 如何分解为子对象。第一篇论文 math.AG/0312190 利用 Artin 栈理论定义了构型,并研究了 A 中对象与 (I,<)-构型的模空间 Obj_A、M(I,<)_A。第二篇 math.AG/0503029 利用 math.AG/0403305、math.AG/0509722 中发展的理论,考虑了 Obj_A 上的可构造函数与“栈函数”的代数。本文在 A 上引入(弱)稳定性条件 (t,T,<)。我们证明 A 中 K(A) 中类 a 的 t-半稳定对象与 t-稳定对象的模空间 Obj_{ss}^a(t)、Obj_{st}^a(t) 是栈 Obj_A 中的可构造集,且某些构型模空间 M_{ss},...,M_{st}^b(I,<,k,t)_A 在 M(I,<)_A 中是可构造的。因而它们的特征函数 d_{ss}^a(t),... 与 d_{ss}(I,<,k,t),... 是 Obj_A 与 M(I,<)_A 上的可构造函数。我们证明了这些函数在模栈之间的 1-态射下的推挽所满足的许多恒等式。这些编码了例如将一个 t-半稳定对象分解为 t-稳定因子的方式族的欧拉特征等事实,并构成了一种“t-(半)稳定性的泛代数”。利用这些我们定义了 Obj_A 上有趣的可构造函数的(Lie)代数 H^{pa}_t,H^{to}_t 与 L^{pa}_t,L^{to}_t。所有这些都被推广到“栈函数”。