凝聚整环与 $D+XL[X]$ 构造

设 $D$ 为整环，商域为 $K$，令 $\mathcal{I}(D)$ 为 $D$ 的非零理想集合。对 $I,J\in \mathcal{I}(D)$，若 $IJ=\{ij|i\in I,j\in J\}$，称理想之积 $IJ$ 为凝聚的。若对每一对 $I,J$ 积 $IJ$ 均为凝聚的，称 $D$ 为凝聚整环。我们证明，若 $a,b$ 是凝聚整环中的元素且满足 $aD\cap bD=abD$，则 $(a,b)=D$。[Comm. Algebra 15 (1987), 1895-1920] 中已证预 Schreier 整环是 $\ast$-整环，即 $D$ 满足 $\ast$：对 $D$ 的非零元素的两集合 $\{a_{i}\}_{i=1}^{m},\{b_{j}\}_{j=1}^{n}$ 有 $(\cap (a_{i}))(\cap b_{j})=\cap (a_{i}b_{j})$。我们证明凝聚整环 $D$ 是预 Schreier 的当且仅当 $D$ 是 $\ast$-整环。我们还证明若 $A\subseteq B$ 是整环的扩张且 $A+XB[X]$ 是凝聚的，则 $B$ 必为域且 $A$ 必为凝聚的，并且此时 $[B:K]<4$。特别地，我们研究 $D+XL[X]$ 为凝聚的必要充分条件，其中 $D$ 为整环，$L$ 为 $K$ 的扩张域。需注意若 $D$ 不是域则 $D[X]$ 从不为凝聚的。因此对凝聚的 $D$，$D+XK[X]$ 是一种由旧构造新凝聚整环的方法。