计算双曲反射群的算术不变量

我们描述了一组用 PARI/GP 编写的计算机脚本，用于计算由 $\mathbb{H}^3$ 中有限体积多面体确定的反射群的交换性不变量，即不变迹域和不变四元数代数。我们的脚本还允许通过分析其分歧来确定此类群的算术性以及不变四元数代数的同构类。我们展示了这些不变量的许多计算实例。这足以表明我们所考虑的大多数群是两两不交换的。对于具有相同不变量的群对，并非毫无希望：当两个群都是算术群时，具有相同的不变量保证了它们的交换性。我们通过这种方式发现了许多“意外”的交换群对。我们还展示了一对具有相同不变量的非算术群，对于它们我们无法确定其交换性。