约束 PCA 问题界限认证的计算困难性

给定一个从高斯正交系综（GOE）中抽取的随机 $n \times n$ 对称矩阵 $\boldsymbol W$，我们考虑在约束集 $\mathcal{S} \subset \mathbb{R}^n$ 中的所有向量 $\boldsymbol x$ 上，认证二次型 $\boldsymbol x^\top \boldsymbol W \boldsymbol x$ 最大值上界的问题。对于某类归一化约束集 $\mathcal{S}$，我们表明，在某些复杂性理论假设条件下，不存在多项式时间算法能认证比 $\boldsymbol W$ 的最大特征值更好的上界。我们结果中一个值得注意的特例是超立方体 $\mathcal{S} = \{ \pm 1 / \sqrt{n}\}^n$，它对应于统计物理中 Sherrington-Kirkpatrick 自旋玻璃模型哈密顿量界限的认证问题。我们的证明分两步进行。首先，我们将负尖峰 Wishart 模型中的检测问题归约到上述认证问题。然后我们通过证明没有任何低次多项式能够（在期望上）区分有尖峰与无尖峰模型，给出证据表明该 Wishart 检测问题在经典谱阈值以下在计算上是困难的。这种识别计算阈值的方法在近期关于平方和层次的一系列工作中被提出，并被认为对一大类问题是正确的。我们的证明可看作构造了一个对称矩阵上的分布，它在计算上看起来与 GOE 不可区分，但其支撑的矩阵在 $\boldsymbol x \in \mathcal{S}$ 上的最大二次型远大于 GOE 矩阵。