广义非均匀噪声下低秩估计的计算与统计下界

近期工作将若干关于被加性i.i.d.高斯噪声破坏的低秩信号矩阵的尖峰Wigner矩阵模型的结果推广到了非均匀情况，其中噪声具有方差轮廓。特别地，对于方差轮廓具有块结构的特殊情形，一系列结果识别了一种有效的谱算法用于检测和估计信号，确定了该算法成功所需的阈值信号强度，并证明了信息论下界——对于某些特殊信号分布，该下界与上述阈值匹配。我们通过研究该谱算法的计算最优性来补充这些结果。即，我们证明，对于更广泛的信号分布族，每当谱算法无法检测到低秩信号时，任何低次多项式算法也无法做到。这为Guionnet, Ko, Krzakala和Zdeborová(2023)的计算困难性猜想提供了首个证据。利用类似技术，我们还证明了一类未被先前工作处理的信号分布的尖锐信息论下界。与上述所有非均匀模型的结果不同，我们的结果不假设方差轮廓具有块结构，并表明同一谱算法可能对相当一般的轮廓仍然最优。我们对一个平滑变化而非分段常数的轮廓示例进行了数值研究。我们的证明涉及分析矩阵的图和，该量也出现在自由概率和交通概率中，但我们需要比现有结果更紧的关于这些量的界，特别是对于非负矩阵，这可能具有独立的研究价值。