可形变流形的计算分析：从几何建模到深度学习

列夫·托尔斯泰在其巨著《安娜·卡列尼娜》开篇写下了如今家喻户晓的一句话：幸福的家庭都是相似的；不幸的家庭各有各的不幸。类似的观念也适用于数学空间：每一个平坦空间都是相似的；每一个非平坦空间都以自己的方式非平坦。然而，我们将表明，非平坦空间的多样性并非不幸的源泉，而是提供了一个丰富的研究领域。所谓大数据时代的到来以及规模不断增长的社会与科学数据库的激增，导致对能够高效处理、分析乃至生成高维数据的算法的需求。然而，维度灾难使得许多经典方法在这些问题的规模上难以良好扩展。避免某些此类不良影响的一种技术是利用相干数据的几何结构。在本论文中，我们将探索用于形状处理与数据分析的几何方法。更具体地，我们将研究通过多种数学工具（包括但不限于计算微分几何、变分PDE建模和深度学习）来表示流形及其上支撑的信号的技术。首先，我们将通过变分建模探索非等距形状匹配。接下来，我们将利用流形上平行传输的思想，将卷积与卷积神经网络推广到可形变流形。最后，我们提出一种新颖的自回归模型来捕捉数据的内在几何与拓扑，以此作结。贯穿本工作，我们将计算对应关系的思想作为一条主线，既用以激励我们的工作，也用以分析我们的结果。