多项式混沌展开的压缩采样：收敛分析与采样策略

通过 Monte Carlo 采样正交多项式基对于使用多项式混沌 (PC) 展开对具有高维随机输入的模型进行不确定性量化具有重要意义。众所周知，限制一个称为相干性 ({\it coherence}) 的概率参数，可以为通过求解 $\ell_1$-最小化问题识别稀疏 PC 展开中的系数所需的样本数量提供界限。利用正交多项式的渐近结果，我们在各自的自然采样分布下限制了 Hermite 型和 Legendre 型多项式的相干参数。在这两种多项式基中，我们确定了一种重要性采样分布，其产生的界限对近似阶数的依赖性较弱。对于更一般的标准正交基，我们提出了最优相干 ({\it coherence-optimal}) 采样：一种 Markov Chain Monte Carlo 采样，它直接使用所考虑的基函数，以在所有具有相同支撑集的采样方案中实现统计最优性。我们在高阶和高维的人造 PC 展开中数值演示了这些不同的采样策略。此外，在识别两个微分方程的解时比较了每种采样方法的质量，其中一个具有高维随机输入，另一个具有高阶 PC 展开。在这两种情况下，最优相干采样方案都导致了相似或显著提高的精度。