相干性驱动采样与最小二乘多项式混沌回归的收敛性分析
统计理论
2015-06-23 v1 统计理论
摘要
通过蒙特卡洛方法对正交多项式基进行独立采样，对于利用多项式混沌（PC）展开进行模型不确定性量化具有重要意义。已知限制由 PC 样本构成的随机矩阵的谱半径，可给出通过求解最小二乘回归问题识别 PC 展开系数所需样本数的界限。我们提出了一种相关分析，利用采样 PC 基的相干参数保证均方收敛，该参数既可在解析上界定也可在计算上估计。利用正交多项式的渐近结果，我们在各自的自然采样分布下界定了 Hermite 型和 Legendre 型多项式的相干参数。在这两种多项式基中，我们确定了一种重要性采样分布，其给出的界限对 PC 基阶数的依赖性较弱。对于更一般的标准正交基，我们提出了相干最优采样：一种马尔可夫链蒙特卡洛采样，直接使用所考虑基函数，在所有具有相同支撑集的此类采样方案中实现统计最优，并保证恢复所需的样本数（在对数因子范围内）与所考虑基函数数量成线性关系。我们在高阶和高维人工构造的 PC 展开中数值演示了这些不同的采样策略。此外，还在识别两个微分方程解的过程中比较了每种采样方法的质量，其中一个具有高维随机输入，另一个具有高阶 PC 展开。在所有观察案例中，相干最优采样相较于其他考虑的采样分布均带来了相似或显著提高的精度。
引用
@article{arxiv.1410.1931,
title = {Coherence Motivated Sampling and Convergence Analysis of Least-Squares Polynomial Chaos Regression},
author = {Jerrad Hampton and Alireza Doostan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1410.1931},
year = {2015}
}
备注
arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1408.4157