由螺旋对称性稳定化的复合 Weyl 节点（含与不含时间反演）

我们分类了具有螺旋对称性 $n_m$ 且破缺 $\mathcal P*\mathcal T$ 对称性的三维晶体中的能带简并，其中 $\mathcal P$ 代表空间反演，$\mathcal T$ 代表时间反演。沿对称线的一般简并是 Weyl 节点：能带对之间的手性接触点。它们可以是手性荷大小为 $|\chi|=1$ 的单节点，或 $|\chi|=2$ 或 $3$ 的复合节点，且可能的 $\chi$ 值仅取决于轴的阶数 $n$，而不取决于螺旋的螺距 $m/n$。双 Weyl 节点需要 $n=4$ 或 6，三节点需要 $n=6$。在所有情况下能带沿轴线性分裂，而对于复合节点在正交平面上的分裂是二次的。这对于三节点和双节点都成立，这是由于有效的两能带哈密顿量中存在非手性二次项，掩盖了手性三次色散。如果 $\mathcal T$ 对称性存在且 $\mathcal P$ 破缺，则在某些对称线上可能存在钉扎到 $\mathcal T$-不变动量的 Weyl 节点，在某些情况下这是不可避免的。在其他对称性缺失时，它们的分类取决于 $n$、$m$ 和 $\mathcal T$ 对称性的类型。对于无自旋 $\mathcal T$，此类 $\mathcal T$-不变 Weyl 节点总是双节点，而对于有自旋 $\mathcal T$，它们可以是单节点或三节点。$\mathcal T$-不变三节点不仅可出现在 6 重轴上，也可出现在 3 重轴上，其面内能带分裂是三次的，而非一般三节点情形中的二次。这些规则通过第一性原理计算加以说明：对 hcp 钴（一种具有 $6_3$ 对称性的 $\mathcal T$-破缺、$\mathcal P$-不变晶体），以及对三方晶系碲和六方 NbSi$_2$（它们分别是具有 3 重和 6 重螺旋对称性的 $\mathcal T$-不变、$\mathcal P$-破缺晶体）。