借助额外类时维度复化时空代数：Pin、Spin 与代数旋量

由于同构 ${C \kern -0.1em \ell}_{1,3}(\Bbb{C})\cong{C \kern -0.1em \ell}_{2,3}(\Bbb{R})$，可以通过在 Minkowski 时空中添加一个额外的类时维度来复化时空 Clifford 代数 ${C \kern -0.1em \ell}_{1,3}(\Bbb{R})$。在最近的工作中，我们展示了这种处理如何依据新时间维度对 Dirac 粒子和反粒子给出一种特定解释。本文深入研究实 Clifford 代数 ${C \kern -0.1em \ell}_{2,3}(\Bbb{R})$ 的结构，特别关注同构 ${C \kern -0.1em \ell}_{1,3}(\Bbb{C})\cong{C \kern -0.1em \ell}_{2,3}(\Bbb{R})$ 与嵌入 ${C \kern -0.1em \ell}_{1,3}(\Bbb{R})\subseteq{C \kern -0.1em \ell}_{2,3}(\Bbb{R})$。在文章前半部分，我们分析 Pin 和 Spin 群并构造单射映射 $\operatorname{Pin}(1,3)\hookrightarrow\operatorname{Spin}(2,3)$，特别地得到 $\operatorname{Spin}(2,3)$ 中表示宇称和时间反演的元素。在文章后半部分，我们研究该代数的旋量空间，并证明 ${C \kern -0.1em \ell}_{1,3}(\Bbb{C})$ 中复旋量的通常结构由 ${C \kern -0.1em \ell}_{2,3}(\Bbb{R})$ 中实旋量的 Clifford 共轭内积所重现。