带 $\theta$ 项的环面上 2D U(1) 规范理论的复 Langevin 分析

带 $\theta$ 项的规范理论的蒙特卡洛模拟由于符号问题而已知极其困难。近来基于将动力学变量复化这一思想，在解决该问题上取得了重大进展。此处我们考虑复 Langevin 方法（CLM），这是一种因计算成本低而颇具前景的方法。然而该方法的缺陷在于存在一项必须满足条件才能使结果正确。作为第一步，我们将该方法应用于可解析求解的带 $\theta$ 项的环面上 2D U(1) 规范理论。我们发现该方法的朴素实现因 $\theta$ 项的拓扑性质而失败。为规避此问题，我们在穿孔环面上模拟同一理论，其在无限体积极限下对 $|\theta| < \pi$ 等价于原模型。颇令人惊讶的是，我们发现 CLM 在穿孔环面上即便在很大的 $\theta$ 下也能工作并复现精确结果，此时穿孔附近的链变量变得非常远离幺正性。