长程格子系统中通过粗粒化获得的紧性

我们考虑定义在 ${\mathbb R}^d$ 的周期集 ${\mathcal L}$ 上、形如 $\sum_{i,j\in{\mathcal L}} a^\varepsilon_{ij}|u_i-u_j|$ 的能量，其定义在自旋函数 $u_i\in\{0,1\}$ 上，并假定相互作用的典型范围为 $R_\varepsilon$ 且 $R_\varepsilon\to +\infty$，即若 $\|i-j\|\le R_\varepsilon$ 则 $a^\varepsilon_{ij}\ge c>0$。在离散到连续的分析中，我们证明了此类泛函在 $\varepsilon\to 0$ 时的整体行为表现为界面能。证明采用粗粒化过程完成，该过程将定义在 $\varepsilon{\mathcal L}$ 上且能量等界的函数关联为一族周长等界的集合。这与 $R_\varepsilon$ 等界的情形一致，可视为短程相互作用 coerciveness 结果的推广，但不同于其他长程相互作用能量，后者的极限超出了表面能的范畴。在 ${\mathcal L}={\mathbb Z}^d$ 的情形下给出了极限能量的计算。