紧收敛、$L^2$-$\overline{\partial}$-复形的形变与典范 $K$-同调类

设 $(X,\gamma)$ 为复维数 $m$ 且 $\mathrm{dim}(\mathrm{sing}(X))=0$ 的紧不可约Hermitian复空间。设 $(F,\tau)\rightarrow X$ 为 $X$ 上的Hermitian全纯向量丛，并记 $\overline{\eth}_{F,m,\mathrm{abs}}$ 为 $F$ 值 $(m,\bullet)$-形式的极大 $L^2$-$\overline{\partial}$ 复形的卷起算子。设 $\pi:M\rightarrow X$ 为奇点消解，$g$ 为 $M$ 上的度量，$E:=\pi^*F$ 且 $\rho:=\pi^*\tau$。在本文中，在对 $\tau$ 相当一般的假设下，我们证明如下解析 $K$-同调类的等式 \[\overline{\eth}_{F,m,\mathrm{abs}}\]=\pi_*\[\overline{\eth}_{E,m}\]，其中 $\overline{\eth}_{E,m}$ 为 $M$ 上 $E$ 值 $(m,\bullet)$-形式的 $L^2$-$\overline{\partial}$ 复形的卷起算子。我们的证明基于 \cite{KuSh} 中发展的泛函分析技巧，并给出了由 $\overline{\eth}_{F,m,\mathrm{abs}}$ 与 $\overline{\eth}_{E,m}$ 诱导的偶无界Fredholm模之间的显式同伦。