(几乎) 自由环面作用的上同调后果

长期存在的 Halperin--Carlsson 猜想（基本上也称为环秩猜想）指出，对于一个性质良好的空间 $X$（在特征 $p>0$ 时取循环群 $\zz_p$ 为系数的上同调，或在特征 0 时取有理系数），其所有 Betti 数之和至少为 $2^n$，其中 $n$ 是在 $X$ 上自由作用（特征 $p>0$）或几乎自由作用（特征 0）的 $n$-环面 $\zz_p \times \stackrel{(n)}...\times \zz_p$（特征 $p>0$）或 $\s^1 \times \stackrel{(n)}...\times \s^1$（特征 0）的秩。许多作者在不同的背景和特例中探讨了这一猜想。然而，经过几十年的各种重述和重新证明，关于 Betti 数的最佳已知一般下界仍然是一个非常低的线性界。本文研究了特征 0 和特征 2 下的该猜想，从而改进了特征 0 下的下界。