Hilbert 单形几何中的聚类

在有限维概率单形上对类别分布进行聚类，是许多处理归一化直方图的应用中遇到的一项基本任务。传统上，概率单形的微分几何结构或通过 (i) 将黎曼度量张量设为类别分布的 Fisher 信息矩阵，或通过 (ii) 定义由平滑相异度度量 Kullback-Leibler 散度诱导的对偶信息几何结构来使用。在本工作中，我们为聚类任务引入一种新颖且计算友好的概率单形几何建模框架：{\em Hilbert 单形几何}。在 Hilbert 单形几何中，距离是非可分离的 Hilbert 度量距离，它满足信息单调性，其距离水平集函数由多面体边界描述。我们证明 Aitchison 和 Hilbert 单形距离分别是关于 $\ell_2$ 和 variation 范数的归一化对数表示上的范数距离。我们讨论了这些不同统计建模的优缺点，并在实验中以基于中心的 $k$-means 和 $k$-center 聚类对这些不同几何进行了基准比较。此外，由于规范 Hilbert 距离可定义于欧几里得空间的任何有界凸子集上，我们也考虑了相关矩阵椭圆体（elliptope）的 Hilbert 几何，并研究了其相对于 Fr\"obenius 和 log-det 散度的聚类性能。