dcpos 上的闭包算子

我们考察了至少为 dcpos 的偏序集上闭包算子的集合性质。第一个定理奠定了本文的基调：它说明了 dcpo 上的一组预闭包映射如何确定其上方的最小闭包算子，并阐述了相关的归纳原理及其伴生原理——逆归纳原理。利用该定理，我们证明了 dcpo 上的闭包算子构成的偏序集是一个完全格，随后给出了 dcpos 上 Tarski 定理的构造性证明。我们继续构造 dcpo 上 Scott 连续闭包算子构成的完全格中的并，并证明预框架上核构成的完全格是一个框架，同时给出了在所有核构成的框架这一特殊情形下的一些构造。在相当冗长的 Hofmann-Mislove-Johnstone 定理证明中，我们展示了逆归纳的效用，并将其应用于关键引理的证明。此后我们转换视角，针对某些特殊子偏序集具有足够多极大元的偏序集，证明了一些与 dcpos 相关结果类似的结论；这些结果实际上可特化为 dcpos，但代价是使用选择公理。最后，我们指出了与 dcpo 上闭包算子相关联的两种凸几何。