半随机过程中的团、色数与独立集

半随机图过程是一个单人游戏，玩家最初面对一个具有 $n$ 个顶点的空图。在每一轮中，独立且均匀地随机向玩家呈现一个顶点 $u$。然后玩家自适应地选择一个顶点 $v$，并将边 $uv$ 加入图中。对于一个固定的单调图性质，玩家的目标是以高概率在尽可能少的轮数内迫使图满足该性质。在本文中，我们研究以下三个性质：包含阶为 $k$ 的完全图、色数至少为 $k$、以及不具有大小至少为 $k$ 的独立集。