$\omega$-幂的经典与有效描述复杂度

我们证明，对于每个非零可数序数 $\alpha$，都存在某些 $\Sigma^0_\alpha$-完全 $\omega$-幂和某些 $\Pi^0_\alpha$-完全 $\omega$-幂，从而扩展了先前关于 $\omega$-幂拓扑复杂性的工作。我们证明了这些结果的有效版本。特别是，对于每个非零递归序数 $\alpha$，存在一个递归有限语言 $A$，使得 $A^\omega$ 是 $\Sigma^0_\alpha$-完全的（分别是 $\Pi^0_\alpha$-完全的）。为此，我们证明了 Kuratowski 一个结果的有效版本，该结果将 Borel 集描述为 Baire 空间闭子集在连续双射下的像。这引导我们证明了在任意递归呈现的 Polish 空间中，超算术层级类 Effective-$\Pi^0_\alpha$ 和 Effective-$\Sigma^0_\alpha$ 的封闭性。我们将存在性结果应用于更好地计算第二作者在 [Omega-Powers and Descriptive Set Theory, Journal of Symbolic Logic, Volume 70 (4), 2005, p. 1210-1232] 中考虑的某些字典集的拓扑复杂度。