存在任意 Borel 秩的某些 Omega 幂

有限语言的 Omega 幂是形式为 $V^\omega$ 的无限字语言（omega-语言），其中 $V$ 是有限字母表 $X$ 上的有限语言。它们在正则或上下文无关 omega-语言的刻画中自然出现。由于有限字母表 $X$ 上的无限字集合可以配备通常的 Cantor 拓扑，有限语言 Omega 幂的拓扑复杂性问题自然产生，并由 Niwinski (1990)、Simonnet (1992) 和 Staiger (1997) 提出。最近已证明，对于每个整数 $n > 0$，存在一些上下文无关语言的 Omega 幂，它们是 $\Pi^0_n$-完全 Borel 集；存在一种上下文无关语言 $L$，使得 $L^\omega$ 是解析集但不是 Borel 集；并且存在一种有限语言 $V$，使得 $V^\omega$ 是无限秩的 Borel 集。但 Omega 幂可能的无限 Borel 秩仍未知。本文填补了这一空白，证明了一个非常令人惊讶的结果，表明 Omega 幂展现出巨大的拓扑复杂性：对于每个非零可数序数 $\alpha$，存在一些 $\Sigma^0_\alpha$-完全的 Omega 幂和一些 $\Pi^0_\alpha$-完全的 Omega 幂。