无选择计算与对称性：可定义性的局限

寻找一个刻画 PTIME 的逻辑是有限模型理论中一个长期悬而未决的问题。最有希望的候选逻辑之一是带计数的无选择多项式时间（CPT）。抽象地说，CPT 是一个以遗传有限集为数据结构的同构不变计算模型。虽然很容易验证 CPT 语句的求值可在多项式时间内完成，但其逆命题已开放了 20 余年：有限结构的每个 PTIME 可判定性质是否都能用 CPT 表达？我们试图在给出否定答案的方向上取得进展，并证明无选择多项式时间无法在每个超立方体中计算具有对数大小颜色类的预序。其原因是此类预序具有超多项式多个自同构像，这使得 CPT 无法定义它们。虽然计算这样一个预序并非一个能立即分离 P 与 CPT 的判定问题，但它的重要性在于以下原因：所谓的 Cai-Fürer-Immerman（CFI）问题是逻辑的标准基准之一，或许最为人所知的是它将带计数的定点逻辑（FPC）与 P 分离开来。因此，很自然地也将其视为分离 CPT 与 P 的一个潜在候选。这方面已知的最强正面结果指出，如果输入结构中存在具有对数大小颜色类的预序，CPT 就能解决 CFI 问题。我们的结果意味着这种方法无法推广到无序输入。换言之，无序超立方体上的 CFI 是一个 PTIME 问题，但可证明无法用最先进的无选择算法技术来处理。