局部与正则置换统计的特征标

本专著的目标是从表示论、组合与概率的视角研究将一组有限正整数序列映射到另一组的置换指示函数。置换函数的次数是指将其表示为这些指示函数的线性组合时所需的最大序列对的长度。这一隐含于 Diaconis 工作中的次数概念,对于表示论在极值组合、机器学习、概率与统计的诸多应用至关重要。我们使用术语“局部”表示有界次数,并开启对低次类函数的研究,其在每个轮换类型上同时编码置换统计的概率数据。我们以自包含的方式处理置换函数,用枚举与代数组合学者熟悉的语言发展其理论。这自然引出我们称为路径幂和对称函数的对称函数新基。我们工作中技术最具挑战性的部分是路径 Murnaghan-Nakayama 公式,它将路径幂和展开为 Schur 函数。将路径 Murnaghan-Nakayama 公式与经典的特征标多项式理论结合,可得到条件于轮换类型的置换统计矩的结构性刻画。随后我们分析这些矩的渐近性质。在此过程中,我们引入新的正则置换统计族,其包含几乎所有合理的加权模式计数统计。我们证明一大族正则统计在给定轮换类型上满足仅依赖于不动点比例的定律大数,且其方差仅依赖于不动点与二轮换。