通过多校准化刻画产品分布的可区分性

给定一组样本 $x_1, \dots , x_k$，这些样本被承诺来自两个分布 $X_0, X_1$ 中的一个，这是统计学中一个已研究的难题。信息论上，给定 $k$ 个样本区分两个分布的最大优势由 $X_0^{\otimes k}$ 和 $X_1^{\otimes k}$ 之间的总变差距离捕获。然而，当我们限制关注高效区分这两个分布的“小电路”时，对 $X_0^{\otimes k}$ 和 $X_1^{\otimes k}$ 可区分性的精确刻画更为复杂且较少了解。本文中，我们给出一种通用方法，将 $X_0$ 和 $X_1$ 可计算不可区分性的界限，简化为 $\widetilde{X}_0$ 和 $\widetilde{X}_1$ 之间“信息论不可区分性”的界限。作为结果，我们证明了高效区分 $X_0^{\otimes k}$ 和 $X_1^{\otimes k}$ 所需样本数 $k$ 的一个新且紧致的刻画：$$k = \Theta\left(d_H^{-2}\left(\widetilde{X}_0, \widetilde{X}_1\right)\right),$$ 这等于 $\widetilde{X}_0$ 和 $\widetilde{X}_1$ 之间的 Hellinger 距离 $d_H$ 的平方的倒数。该结果是 $\widetilde{X}_0$ 和 $\widetilde{X}_1$ 与 $X_0$ 和 $X_1$ 可计算不可区分。我们的框架也可用于重新推导 Halevi 和 Rabin（TCC 2008）和 Geier（TCC 2022）的某个结果，证明计算不可区分性随样本数变化的近紧界限，适用于任意产品分布。