校准距离的计算与统计硬度

校准距离由 B{\l}asiok、Gopalan、Hu 和 Nakkiran（STOC 2023）提出，最近成为概率预测器误校准的核心度量。我们研究了计算和估计这一量的基本问题，给定确切的数据分布或仅对其进行样本访问。我们给出一种高效算法，准确计算当分布具有均匀边际且标签无噪声时的校准距离，这改进了 Qiao 和 Zheng（COLT 2024）对于该特殊情况的 $O(1/\sqrt{|\mathcal{X}|})$ 加法近似。或许出乎意料的是，在移除这两个假设中的任何一个后，该问题变得 $\mathsf{NP}$-hard。我们将我们的算法推广到一般情况下的多项式时间近似方案。对于估计问题，我们证明需要 $\Theta(1/\epsilon^3)$ 个样本，才能将经验校准距离上界为真实距离加上 $\epsilon$。相比之下，学习基线所致的对域大小的多项式依赖不可避免，这适用于双侧估计。我们的正向结果基于分布和目标预测器的简单稀疏化，这显著减少了计算的搜索空间，并导致估计问题的更强集中。为了证明硬度结果，我们引入了新的技术，用于证明校准距离的下界 —— 这一问题由于其 $\textsf{co-NP}$-complete 的本质在一般情况下是困难的。