具有可变长度末端段的铰接探针之可行轨迹的刻画与计算

在平面中，一个铰接探针被建模为两条线段 $ab$ 和 $bc$，在 $b$ 处连接，其中 $ab$ 非常长，$bc$ 为某一小长度 $r$。我们研究涉及该两线段铰接探针的轨迹规划问题，其中 $bc$ 的长度 $r$ 可定制。考虑一组简单多边形障碍物 $P$，其共有 $n$ 个顶点，一个位于自由空间中且无法看到无穷远的目标点 $t$，以及一个以 $t$ 为中心并包围 $P$ 的圆 $S$。探针初始位于 $S$ 之外，$ab$ 与 $bc$ 共线，并被限制执行如下移动序列：将 $abc$ 直线插入 $S$，随后绕 $b$ 旋转 $bc$。目标是为探针计算一条避开障碍物的可行轨迹，使得在该移动序列之后 $c$ 与 $t$ 重合。我们证明，对于 $n$ 条线段障碍物，存在可行探针轨迹的最小长度 $r$ 可在 $O(n^{2+\epsilon})$ 时间内利用 $O(n^{2+\epsilon})$ 空间求得，其中任意常数 $\epsilon > 0$。此外，我们证明存在可行探针轨迹的所有 $r$ 值构成 $O(n^2)$ 个区间，并可在 $O(n^{5/2})$ 时间内利用 $O(n^{2+\epsilon})$ 空间计算出来。我们还表明，对于给定的 $r$，该铰接探针的可行轨迹空间可由复杂度为 $O(n^2)$ 的一个简单排列刻画，该排列可在 $O(n^2)$ 时间内构造。为获得我们的解，我们针对若干有趣的几何相交与空性查询问题的变体设计了高效数据结构。