平面矩形障碍物间的双准则矩形最短路径

给定平面中包含$h$个两两不相交矩形障碍物且总顶点数为$n$的矩形域$\mathcal{P}$，我们研究计算$\mathcal{P}$中两点$s$和$t$之间双准则矩形最短路径的问题。考虑三种类型的双准则矩形路径：最小链路最短路径、最短最小链路路径，以及成本为路径边数和长度非递减函数的最小成本路径。还考虑了单点和两点路径查询。此前已给出针对这些问题的算法。我们的贡献有三方面。首先，我们发现所有先前算法中存在一个关键错误。其次，我们以一种非平凡的方式修正了该错误。第三，我们进一步改进了算法，使得当$h$相对较小时，它们甚至比先前（错误的）算法更快。例如，对于最小链路最短路径，我们获得以下结果：我们的算法在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内计算出一条最小链路$s$-$t$最短路径。对于单点查询，我们在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内构建一个大小为$O(n+ h\log h)$的数据结构以服务于源点$s$，使得对于任意查询点$t$，可以在$O(\log n)$时间内确定一条最小链路$s$-$t$最短路径。对于两点查询，经过$O(n+h^2\log^2 h)$时间和空间的预处理，可以在$O(\log n+\log^2 h)$时间内确定任意两点$s$和$t$之间的最小链路$s$-$t$最短路径；或者，经过$O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$时间和$O(n+h^2\cdot \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$空间的预处理，我们可以在$O(\log n)$时间内回答每个两点查询。