QR分解因子R与格基约化性的认证

给定一个由 $n$ 个 $Z^n$ 中的向量构成的格基，我们提出了一种使用 $12n^3+O(n^2)$ 次浮点运算的算法来检验该基是否为 LLL-约化的。如果该基是约化的，则算法有望回答“是”。如果该基不是约化的，或者所使用的精度相对于 $n$ 及该基的数值性质而言不够，则算法将回答“失败”。因此，肯定的回答是一个严格的证书。为了实现该证书本身，我们提出了一种浮点算法，用于计算 QR 矩阵分解中 R 因子的（经认证的）误差界。该算法考虑了所有可能的近似与舍入误差。该证书 $12n^3+O(n^2)$ 的代价仅为计算 QR 分解本身的数值算法代价的六倍，且该证书可仅使用矩阵库例程来实现。我们报告的实验表明，对于具有适当维度和质量的约化基，该证书能够成功，从而确立了该证书的有效性。此有效性被用于认证现有最快浮点 LLL 约化启发式算法的输出，而不会减慢整个过程。