不可压缩 Neo-Hookean 材料的柯西问题

本文考虑空间维数 $d \geq 2$ 下 neo-Hookean 不可压缩弹性的柯西问题。我们此处主要关注低正则性情形 $s \le s_{crit}=d/2+1$。对于 $d = 2, 3$，我们证明在 $s_0 < s\le s_{crit}$ 时存在唯一性，且可证明适定性，但范围更小，为 $s_1 < s \le s_{crit}$，\begin{align*} \text{if $d=2$}{}&, \quad s_0 = \frac74, \quad s_1= \tfrac74 + \tfrac{\sqrt{65}-7}{8} \\ \text{if $d=3$}{}&, \quad s_0 = 2, \quad s_1 = 1 + \sqrt{\tfrac32} \end{align*} 我们考虑形如 $x(0, \xi) = A \xi + \varphi(\xi)$ 的初始形变，其中 $A$ 为常值 $SL(d, \mathbb{R})$ 矩阵，且 $\varphi \in H^{s+1}$。对于如上所述的（关于 $s$ 的）全范围结果，我们需要对 $\varphi$ 的某些二阶导组合附加 Hölder 正则性假设。证明中的一个关键观察是，涡量的演化方程分解为一个一阶双曲系统（对其成立 Strichartz 估计）和一个耦合输运系统。这使得人们可以建立 bootstrap 论证以证明局部存在唯一性。对初始数据的连续依赖性的证明使用了受 Bona 与 Smith 以及 Kato 与 Lai 启发的论证，并基于 Riesz 势的新估计进行了修改。本文结果应与理想流体方程已知结果相比较，正如 Bourgain 和 Li 所证，后者要求 $s > s_{crit}$ 是必要的。