有界算子的卡塔兰生成函数

本文研究二次方程$TY^2-Y+I=0$的解，其中$T$是巴拿赫空间$X$上的线性有界算子。我们用算子$T$描述了$Y$的谱集和预解算子。当$4T$是幂有界算子时，我们证明了一个解（称为卡塔兰生成函数）由泰勒级数$$C(T):=\sum_{n=0}^\infty C_nT^n$$给出，其中序列$(C_n)_{n\ge 0}$是著名的卡塔兰数。我们通过涉及预解算子$(\lambda-T)^{-1}$的积分表示来表达$C(T)$。给出了一些说明我们结果的特定例子，特别是为方阵$T$定义的一个涉及卡塔兰数的迭代方法。