高斯 Copula 相关系数的计算

当使用具有线性相关系数的高斯 Copula 对相关随机变量进行建模时，一个关键问题是如何为正态空间中两个具有相关系数 $\rho_x$ 的变量确定合适的相关系数 $\rho_z$。本文试图解决这一问题。对于两个连续变量，边缘变换近似为 Hermite 多项式的加权和，然后利用 Mehler 公式导出一个关于 $\rho_z$ 的多项式，以近似 $\rho_x$ 与 $\rho_z$ 之间的函数关系。若涉及离散变量，则将边缘变换分解为分段连续变换，并通过 Taylor 展开将 $\rho_x$ 表示为 $\rho_z$ 的多项式。对于给定的 $\rho_x$，可以通过求解多项式方程高效地确定 $\rho_z$。