基于哈密顿变作用定律的C1连续时空离散化

我们开发了一类适用于弹性动力学中保守问题的 C1 连续时间积分方法。这些方法基于哈密顿变作用定律。从连续系统的作用量出发，我们导出了控制平衡方程的空间与时间的弱形式。该表达式首先考虑标准有限元在空间上离散。随后将所得系统在时间上离散，采用分段三次 Hermite 形函数近似位移。因此在时间域内，我们实现了位移场的 C1 连续与速度场的 C0 连续。最终由离散虚作用构造了一类单步格式。这些方法从解析与数值两方面进行了考察。在此，我们研究了线性与非线性系统以及本质连续与离散的结构。数值算例中我们聚焦于一维应用。然而，所提供的理论是通用的，同样适用于 2D 或 3D 问题。我们表明，最有利的候选者——记为 p2 格式——以四阶收敛。因此，尤其在需要数值解高精度的情形下，该格式可比低阶方法更高效。对于线性简单问题，它还展现出类似于变分积分器的性质，例如辛性。尽管任意系统是否保持辛性尚待研究，我们的所有数值结果均显示出优异的长期能量行为。