自动机构建巢穴

一个被建模为确定性有限自动机的机器人必须用其可用的材料构建一个结构。该机器人在无限有向网格 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 中导航。网格的一些单元格是满的（含有一块砖）而其他是空的。由满单元格诱导的网格子图称为场，初始时是连通的。场的最远单元格之间的（曼哈顿）距离称为其跨度。机器人从满单元格出发。它一次最多只能携带一块砖。每一步它可以从满单元格拾取一块砖，移动到相邻单元格并在空单元格放下一块砖。机器人的目标是用所有砖构造尽可能紧凑的结构，即一个巢穴。也就是说，机器人必须以这样的方式移动所有砖，使得所得场的跨度最小。我们的主要结果是设计了一个确定性有限自动机，它对每个初始连通的场都能完成任务并随后停止，时间为 $O(sz)$，其中 $s$ 是初始场的跨度，$z$ 是砖的数量。我们证明该复杂度是最优的。