在一维随机哈密顿量中破坏超对称性

一维超对称随机哈密顿量 $H_{susy}=-\frac{d^2}{dx^2}+\phi^2+\phi'$（其中 $\phi(x)$ 是均值为零、方差为 $g$ 的高斯白噪声）在低能区表现出特殊的谱性质和局域化性质：积分态密度 (IDoS) 中出现 Dyson 奇点 $N(E)\sim1/\ln^2E$，以及与 Lyapunov 指数（即逆局域化长度）在 $E\to0$ 时按 $\gamma(E)\sim1/|\ln{}E|$ 趋于零相关的离域化相变。我们研究了通过引入标量随机势 $V(x)$ 破坏超对称性如何影响这一图像：$H=H_{susy}+V(x)$，其中 $V(x)$ 是方差为 $\sigma$ 的高斯白噪声。在 $\sigma\ll{g}^3$ 极限下，比例为 $N(0)\sim{g}/\ln^2(g^3/\sigma)$ 的态迁移至负能谱，且 Lyapunov 指数在 $E=0$ 处达到有限值 $\gamma(0)\sim{g}/\ln(g^3/\sigma)$。文中详细研究了 $E\to-\infty$ 时 IDoS 的指数（Lifshits）尾部，并表明无论 $\phi$ 和 $V$ 哪个噪声更强，该尾部都涉及两者之间的竞争。这一分析基于通过两种不同方法（随机方法和副本方法）获得的关于 $N(E)$ 和 $\gamma(E)$ 的解析结果。此外，还考虑了本征值的极值统计问题（第 n 个激发态能量的分布）。最后，在存在随机湮灭/产生局域速率的随机力场中的经典扩散背景下对结果进行了分析。