半线性偏微分方程的分支扩散表示与蒙特卡洛近似
概率论
2016-03-08 v1 数值分析
摘要
我们给出了具有多项式非线性的抛物型半线性偏微分方程通过分支扩散过程的表示结果。我们推广了由 Skorokhod (1964)、Watanabe (1965) 和 McKean (1975) 引入的 KPP 方程的经典表示，允许在对 中的多项式非线性，其中 是该偏微分方程的解，其空间梯度为 。与先前文献类似，我们的结果需要非爆炸条件，这限制于偏微分方程的“小期限”或“小非线性”。我们的主要工具是如同 Henry Labordere、Tan 和 Touzi (2015) 中的自动微分技术，该技术基于 Malliavin 分部积分，可考虑梯度中的非线性。因此，我们分支扩散的粒子由非线性的性质所标记。这一新表示具有重要的数值意义，因为它适用于蒙特卡洛模拟。事实上，这提供了首个针对高维非线性偏微分方程的数值方法，其误差估计由无维度的中心极限定理给出。其复杂度也容易看出为维度平方的量级。本文最后一节通过一些高维数值实验说明了该算法的效率。
引用
@article{arxiv.1603.01727,
title = {Branching diffusion representation of semilinear PDEs and Monte Carlo approximation},
author = {Pierre Henry-Labordere and Nadia Oudjane and Xiaolu Tan and Nizar Touzi and Xavier Warin},
journal= {arXiv preprint arXiv:1603.01727},
year = {2016}
}