叠加码速率的界

如果一个二元码由有限集族的关联矩阵标识，且其中任意 $\ell$ 个集合的交集不被其他 $s$ 个集合的并集所覆盖，则该码称为叠加无覆盖 $(s,\ell)$-码。如果一个二元码由有限集族的关联矩阵标识，且其中任意 $s$ 个集合的并集最多能覆盖该族中其他 $L-1$ 个集合，则该码称为叠加列表解码 $s_L$-码。对于 $L=\ell=1$，这两个定义重合，相应的二元码称为叠加 $s$-码。我们的目标是获得给定码速率的新上下界。最有趣的结果是基于恒重二元码系综得出的叠加无覆盖 $(s,\ell)$-码速率的下界。若参数 $\ell\ge1$ 固定且 $s\to\infty$，则该下界与已知最佳上界的比值收敛于极限 $2\,e^{-2}=0,271$。对于经典情形 $\ell=1$ 且 $s\ge2$，该陈述意味着我们在 1982 年获得的叠加 $s$-码速率的递归上界在常数因子 $a$ ($0,271\le a\le1$) 范围内是可达的。