代数数上多项式的界及其在曲线拓扑中的应用

设 $P \in \mathbb{Z} [X, Y]$ 为给定总次数 $d$、整数系数比特大小小于 $\tau$ 的无平方因子多项式，并设 $V_{\mathbb{R}} (P) := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, P (x,y) = 0 \}$ 为隐式定义为 $P$ 零点集的实平面代数曲线。我们给出一种确定性且可认证的算法，用以计算 $V_{\mathbb{R}} (P)$ 的拓扑，表示为与 $V_{\mathbb{R}} (P)$ 同痕的直线平面图 $\mathcal{G}$。我们的分析给出了算法比特复杂度上界 $\tilde O (d^5 \tau + d^6)$，该界与当前计算平面代数曲线拓扑问题的最佳界一致。然而，与具有可比复杂度的现有算法相比，我们的方法不考虑任何坐标变换，且返回的图 $\mathcal{G}$ 给出了曲线的柱形代数分解信息。我们的结果基于两个主要要素：首先，我们推导了具有代数系数的多项式根的摊还定量界，以及实际利用此种摊还的计算此类多项式根的自适应方法。我们的第二个要素是一种用于计算曲线在所有临界点邻域内局部拓扑的新方法。