平面代数曲线的精确符号-数值计算

我们提出了一种新颖的、经过认证且完备的算法，用于计算实平面代数曲线的排列。该算法通过柱形代数分解，对有限条代数曲线所诱导的平面分解进行了几何-拓扑分析。从高层视角来看，整体方法分为两个主要子程序：一个名为Bisolve的算法，用于隔离零维二元系统的实解；另一个名为GeoTop的算法，用于分析单条代数曲线。与基于消元技术的现有方法相比，我们在两个子程序中显著改进了相应的提升步骤。因此，我们从不假设输入系统处于一般位置，从而算法无需任何坐标变换。此外，我们极大地限制了所涉及的精确运算类型，即仅使用结式和最大公因式计算作为纯符号运算。后一成果是通过结合来自不同领域的技术实现的，例如（模）符号计算、数值分析和代数几何。我们已将算法实现为C++项目CGAL的原型贡献。它们利用图形硬件来加速符号计算。我们还将我们的实现与当前的参考实现进行了比较，即用于多项式系统求解的LGP和Maple的Isolate，以及用于代数曲线分析和排列计算的CGAL二元代数核。针对各种具有挑战性的实例系列，我们的详尽实验表明，新实现优于现有实现。