Zeno 极限附近的边界驱动量子系统：稳态与长时间行为

我们研究具有有限维状态空间 ${\mathcal H}_A\otimes {\mathcal H}_B$ 的复合开放量子系统，其由 Lindblad 方程 $\rho'(t) = {\mathcal L}_\gamma \rho(t)$ 支配，其中 ${\mathcal L}_\gamma\rho = -i[H,\rho] + \gamma {\mathcal D} \rho$，且 ${\mathcal D}$ 是一个耗散子 ${\mathcal D}_A\otimes I$，仅作用于系统 $A$ 部分（可视为边界），$\gamma$ 是一个参数。已知动力学在 $\gamma$ 较大时会简化：在 \gamma^{-1 量级的时间后，对于远小于 $\gamma^2$ 的时间，$\rho(t)$ 可由 $\pi_A\otimes R(t)$ 很好地近似，其中 $\pi_A$ 是 ${\mathcal D}_A$ 的稳态，$R(t)$ 是 $\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}R(t) = {\mathcal L}_{P,\gamma}R(t)$ 的解，其中 ${\mathcal L}_{P,\gamma} R := -i[H_P,R] + \gamma^{-1} {\mathcal D}_P R$，$H_P$ 是 ${\mathcal H}_B$ 上的哈密顿量，${\mathcal D}_P$ 是 ${\mathcal H}_B$ 上的 Lindblad 生成元。我们仅假设 ${\mathcal D}_A$ 是遍历的且有能隙就证明了这一点。为了更好地控制长时间行为并研究稳态 $\bar\rho_\gamma$，我们引入了第三个 Lindblad 生成元 ${\mathcal D}_P^\sharp$，它不涉及 $\gamma$，但仍与 ${\mathcal L}_\gamma$ 密切相关。我们证明，如果 ${\mathcal D}_P^\sharp$ 是遍历的且有能隙，那么对于所有足够大的 $\gamma$，${\mathcal L}_\gamma$ 也是遍历的且有能隙；并且如果 $\bar\rho_\gamma$ 表示 ${\mathcal L}_\gamma$ 的唯一稳态，那么 $\lim_{\gamma\to\infty}\bar\rho_\gamma = \pi_A\otimes \bar R$，其中 $\bar R$ 是 ${\mathcal D}_P^\sharp$ 的唯一稳态。我们证明存在一个收敛的展开式 $\bar\rho_\gamma = \pi_A\otimes\bar R +\gamma^{-1} \sum_{k=0}^\infty \gamma^{-k} \bar n_k$，其中定义 $\bar n_{-1} := \pi_A\otimes\bar R$，对于所有 $k\geq 0$ 有 ${\mathcal D} \bar n_k = -i[H,\bar n_{k-1}]$。