Borsuk-Ulam 定理与大边际半空间的可复制学习

我们证明了 $d$ 维 $\gamma$ 边际半空间的列表可复制数满足下列不等式：$$\frac{d}{2}+1 \le \mathrm{LR}(H^d_\gamma) \le d,$$ 该值随维度而增长。这解决了若干开放问题：• 将无限维大边际半空间消歧化为总概念类，其 Littlestone 维数必为无穷大，回答了 Alon、Hanneke、Holzman 和 Moran（FOCS '21）的开放问题。• Gap Hamming Distance 问题在大间隙情形下的消歧化具有无穷大的公共币随机通信复杂度，回答了 Fang、Göös、Harms 和 Hatami（STOC '25）的开放问题。• 在随机化通信复杂度与伪确定性通信复杂度之间存在 $O(1)$ 与 $\omega(1)$ 的分离。• 任意有限点集与 $d$ 维欧几里得空间中齐次半空间的最大列表可复制数为 $d$，解决了 Chase、Moran 和 Yehudayoff（FOCS '23）的问题。• 存在一个 Littlestone 维数为 1 的部分概念类，其所有消歧化具有无穷大的 Littlestone 维数，解决了 Cheung、H. Hatami、P. Hatami 和 Hosseini（ICALP '23）的问题。我们的下界来源于基于局部 Borsuk-Ulam 定理的数 拓扑论证。对于上界，我们构造了一个利用支持向量机泛化性质的列表可复制学习规则。