阻断有向树的并

给定有向图 $D=(V,A)$ 和正整数 $k$，子集 $B\subseteq A$ 被称为 \textbf{$k$-并-有向树}，如果它是 $k$ 棵生成有向树的不相交并。当给定弧成本 $c:A\to \mathbb{R}$ 时，最小化 $k$-并-有向树的成本已知是可解的。在本文中，我们探讨以下问题：破坏所有最小 $c$-成本 $k$-并-有向树所需移除的弧集的最小基数是多少。实际上，我们还考虑了更一般的加权问题，即给定弧权重 $w:A\to \mathbb{R}_+$（与 $c$ 无关），目标是找到破坏所有最小 $c$-成本 $k$-并-有向树所需移除的最小权重弧集。该问题的一个等价版本是有向树的根预先固定。在早先的论文 [A. Bern\'ath and Gy. Pap, \emph{Blocking optimal arborescences}, Integer Programming and Combinatorial Optimization, Springer, 2013] 中，我们解决了 $k=1$ 的情形。本工作报告了该问题的其他部分结果。我们解决了 $c$ 和 $w$ 均为均匀的情形——即找到覆盖所有 $k$-并-有向树的最小规模弧集。我们的算法在多项式时间内解决该问题。该解法利用了 [M. B\'ar\'asz, J. Becker, and A. Frank, \emph{An algorithm for source location in directed graphs}, Oper. Res. Lett. \textbf{33} (2005)] 的结果，即所谓的入度坚实集（每个真子集具有更大入度的集合）族满足 Helly 性质，因此可以（高效地）表示为子树超图。我们还给出了仅 $c$ 为均匀而 $w$ 不均匀情形的算法。该算法仅在 $k$ 不是输入的一部分时是多项式时间的。