bispectrum：实用的选择性 $G$-双谱

许多机器学习任务在变换群 $G$ 的作用下保持不变性：信号分类可对翻译保持不变性，图像分类可对二维旋转保持不变性，球面图像分类可对三维旋转保持不变性。$G$-双谱是信号的原则性完备不变量（保留信号在群作用下的所有信息），在机器学习中已证明具有优势，亦可作为深层网络的池化层。然而，其部署受限于高计算成本和针对不同群的零散实现。我们提出 bispectrum，一个开源、经过完整单元测试的 PyTorch 库，实现针对七种不同群作用的选择性 $G$-双谱，作为可直接集成到机器学习管道和深度学习架构中的可微模块。对于有限群 $G$，选择性可将计算成本从 $O(|G|^2)$ 降至 $O(|G|)$。对于平面旋转，利用盘状双谱；对于球面三维旋转，引入在带限 $L$ 上的增强选择性双谱，将成本从 $O(L^3)$ 降至 $\Theta(L^2)$ 系数。我们剖析整个库（实现了各种计算优化），表明其在 GPU 上以亚毫秒级计算选择性 $G$-双谱，可实现接近精确的 $G$-不变性。我们在三个经典基准数据集上评估将 $G$-双谱作为池化层纳入深度学习架构的效用，比较对象包括范数池化、门控池化、Fourier-ELU 池化、最大池化以及（非等变性）数据增强卷积基线。结果表明，在低数据、适中容量的 regime 下，$G$-双谱始终优于替代方案。