二部社区

对于给定的图 $G$，设 $A$ 为邻接矩阵，$D$ 为度对角矩阵，$L' = D - A$ 为组合拉普拉斯矩阵，$L = D^{-1/2}L'D^{-1/2}$ 为归一化拉普拉斯矩阵。最近，$L$ 和 $L'$ 的最小特征值对应的特征向量因其在社区检测中的应用而备受关注。社区检测是一个定义模糊的问题，其本质是寻找一个顶点集 $S$，使得恰好与 $S$ 中一个顶点关联的边很少。社区检测与第二小特征值（及其对应的特征向量）之间的联系是众所周知的。$k$ 个最小特征值已被启发式地用于在同一图中寻找多个社区，而使用 $k \geq 3$ 个特征对的理论严格证明直到最近才被发现。$L$ 的最大特征对更早被用于解决 MAX-CUT 问题，该问题旨在寻找一个顶点集 $S$，使得恰好与 $S$ 中一个顶点关联的边数最大化。最近，Trevisan 提出了 $L$ 的最大特征值与 MAX-CUT 问题的一种递归方法之间的联系，该方法在每个阶段寻找一个“二部社区”。这与 Kleinberg 的 HITS 算法有关，该算法寻找 $A^TA$ 的最大特征值。我们将为考察 $L$ 的 $k$ 个最大特征值以在同一图中寻找多个二部社区提供理论严格的证明，然后基于理论方法发展出的直觉，提供一个寻找强二部社区的启发式算法。最后，我们将展示将我们的算法应用于各种数据挖掘问题的结果。