通过二分性比率度量检测与刻画小型稠密类二分子图

我们研究了寻找和刻画具有小二分性比率（bipartiteness ratio）的子图的问题。我们提出了一种双标准近似算法 \verb|SwpDB|，使得如果存在一个体积至多为 $k$ 且二分性比率为 $\theta$ 的子集 $S$，那么对于任意 $0<\epsilon<1/2$，该算法能找到一个体积至多为 $2k^{1+\epsilon}$ 且二分性比率至多为 $4\sqrt{\theta/\epsilon}$ 的集合 $S'$。通过结合截断操作，我们提出了一种局部算法 \verb|LocDB|，其在输出集合的体积和二分性比率上具有与算法 \verb|SwpDB| 渐近相同的近似保证，且运行时间为 $O(\epsilon^2\theta^{-2}k^{1+\epsilon}\ln^3k)$，独立于图的大小。最后，我们利用图的拉普拉斯矩阵的第 $k$ 个最大特征值，给出了小型稠密类二分子图的谱刻画。