最小化并集：小集合二分图顶点扩展的紧近似

在最小 k-并集问题（MkU）中，给定一个包含 n 个集合的集合系统，要求选择 k 个集合以最小化它们并集的大小。尽管这是一个非常自然的问题，但令人惊讶地鲜少受到关注：唯一已知的近似算法是 [Chlamtác et al APPROX '16] 给出的 $O(\sqrt{n})$-近似。该问题也可以被视为小集合顶点扩展问题（SSVE）的二分图版本，我们称之为小集合二分图顶点扩展问题（SSBVE）。在 SSVE 中，要求找到 k 个节点的集合以最小化它们的顶点扩展，它不像其基于边的对应问题小集合扩展（SSE）那样被充分研究，但最近受到了显著关注，例如 [Louis-Makarychev APPROX '15]。然而，由于与唯一博弈及近似难度的关联，关注点主要集中在大小为 $k = \Omega(n)$ 的集合上，而我们关注的是一般 k 的情况，对此尚无已知的多对数近似。我们通过为 SSBVE 给出任意常数 $\varepsilon > 0$ 下的 $n^{1/4+\varepsilon}$ 近似，改进了该问题的上界。我们的算法沿袭了最密 k-子图（DkS）及相关问题的思路，首先为随机模型设计了一个紧算法，然后将其扩展以对任意实例给出相同的保证。此外，我们证明了在合理的复杂度猜想下这是紧的：假设将 DkS 所谓的“密集与随机”猜想扩展到超图，则其近似度不能优于 $O(n^{1/4})$。我们表明，对于超常数轮数的 Sherali-Adams LP 层级，相同的界限也可由一个积分间隙匹配，而对于自然的 SDP 松弛，其积分间隙甚至更差。最后，我们为更一般的 SSVE 问题设计了一个简单的双准则 $\tilde O(\sqrt{n})$ 近似。