三次高斯和中的偏倚：Patterson 猜想

设 $W$ 为在 $(0,\infty)$ 上具有紧支撑的光滑测试函数。在 $\mathbb{Q}(\omega)$ 上 Hecke $L$-函数的广义黎曼假设（GRH）下，我们证明 $$\sum_{p \equiv 1 \pmod{3}} \frac{1}{2 \sqrt{p}} \cdot \Big ( \sum_{x \pmod{p}} e^{2\pi i x^3 / p} \Big ) W \Big ( \frac{p}{X} \Big ) \sim \frac{(2\pi)^{2/3}}{3 \Gamma(\tfrac 23)} \int_{0}^{\infty} W(x) x^{-1/6} dx \cdot \frac{X^{5/6}}{\log X},$$ 当 $X \rightarrow \infty$ 且 $p$ 取遍素数时。这解释了 Kummer 于 1846 年首次观测到的三次高斯和分布中著名的数值偏倚，并在广义黎曼假设下确认了 Patterson 1978 年的猜想。我们的证明有两个重要副产品。其一是针对三次高斯和的一个显式层级方面 Voronoi 求和公式，推广了 Patterson 和 Yoshimoto 的计算。其次，我们证明在广义黎曼假设下 Heath-Brown 的三次大筛法在 $X^{o(1)}$ 因子内是最优的。这推翻了普遍认为三次大筛法可被改进的观点。我们证明中的一个重要成分是三次高斯和的离散估计。它可解释为带有非平凡渐近主项修正的三次大筛法。该估计依赖于广义黎曼假设，也是我们结果条件性的根本原因之一。