基于松弛张量范数的更优不可知聚类

我们针对 $k$-均值聚类开发了一类基于平方和范数的新凸松弛方法，平方和范数是单射张量范数的一种松弛，可使用平方和算法高效计算。我们给出了一种基于该松弛的算法，只要每个簇中点的低阶矩具有有界的平方和范数，该算法就能恢复出给定数据中真实均值的忠实近似。随后，我们证明了对于任意满足\emph{Poincare 不等式}的分布，其矩张量的平方和范数存在尖锐上界。Poincare 不等式是概率论中的核心不等式，一大类分布均满足该不等式，包括高斯分布、乘积分布、强对数凹分布，以及此类分布的任意求和或一致连续变换。作为直接推论，对于任意 $\gamma > 0$，只要各均值具有 $\Omega(k^{\gamma})$ 的分离度，我们便能在 $d^{O(1/\gamma)}$ 时间内高效学习 $\mathbb{R}^d$ 中由 $k$ 个任意 Poincare 分布混合而成的均值。这尤其给出了一个用于学习具有 $\Omega(k^{\gamma})$ 分离度的高斯混合模型的算法，从而部分解决了 Regev 和 Vijayaraghavan \citet{regev2017learning} 的一个开放问题。只要异常值比例小于最小簇的比例，我们的算法即使在添加了 $\epsilon$ 比例任意异常值的鲁棒离群点设置下也有效。因此，我们在强不可知设置下获得了结果，其中除了不知道分布族之外，数据本身也可能被任意破坏。