BCS变分、超导的Bogoliubov方法与Richardson-Gaudin精确波函数

超导的Bogoliubov方法为Bardeen、Cooper和Schrieffer（BCS）提出的波函数变分提供了强有力的数学支持。事实上，这一变分——所有库珀对凝聚于同一状态——对应于Bogoliubov哈密顿量的基态。然而，该哈密顿量仅仅是BCS哈密顿量的一部分。因此，BCS变分与BCS哈密顿量的基态存在明确差异。这既可以通过从Bogoliubov哈密顿量出发的微扰方法直接证明，也可以更好地通过沿Richardson-Gaudin精确过程解析求解BCS薛定谔方程来证明。尽管如此，BCS变分不仅给出了在势能作用能层中任意对数下基态能量的正确广延部分——正如最近通过解析求解Richardson-Gaudin方程所获得的那样——而且还导出了如本文所展示的电子分布等其他几个物理量。本工作还考虑了势能层的任意填充，并证明了超稀薄和超密集对态的存在，其具有与通常能隙“不同”的能隙。这些态构成了库珀对系统中密度诱导的BEC-BCS交叉的下限和上限。