有banded非Hermitian随机矩阵、神经网络与特征值简并

我们研究受稀疏神经网络（具有圆形1维拓扑）启发的两banded非Hermitian随机矩阵，关注两种典型模型：SSH链和梯子模型，这两种模型都具有非Hermitian方向性偏置和跳跃中的随机符号无序。随机符号无序遵循戴尔法则，导致本征态局域化，而方向性偏置驱动这些状态的去局域化转变。无序与方向性偏置之间的竞争导致丰富的本征谱：一组受扩展状态构成的环绕局域化状态区域的环，特征值全部局限于环形区域内。此外，SSH链和梯模型的不同band结构导致不同的去局域化现象。即使在无无序情况下，调节方向性偏置也可导致特征值简并，这是SSH链的异常点，但梯模型的反常点。在有无序的情况下，这些特殊的特征值简并得以保持，也标志着去局域化过程中的关键阶段。对于这两种模型，随着方向性偏置的增加，最初是从带内的状态开始去局域化。对于SSH链，足够大的方向性偏置会导致去局域化状态在复平面上在谱中开出一个洞，类似于先前针对单band系统的结果。但对于梯模型，随着方向性偏置的增加，状态的去局域化分为两个阶段，导致两个独立的扩展状态环，位于其之间的局域化状态之间。扩展状态所在的精确轮廓可以从与随机传递矩阵乘积相关的Lyapunov指数预测，与直接数值对角化结果一致。虽然我们关注周期边界，但也讨论了开放边界的结果。