哈密顿圈问题上的回溯算法

尽管哈密顿圈问题是 NP 完全的，其许多问题实例并非如此。事实上，几乎所有困难实例都位于一处：靠近 Koml\'os-Szemer\'edi 界，即 $\frac{1}{2}\ v\cdot ln(v) + \frac{1}{2}\ v\cdot ln( ln(v))$ 条边，在此随机生成图具有约 50\% 为哈密顿图的概率。若边数远高于或远低于此，问题并不困难——大多数回溯算法在（近）多项式时间内判定此类实例。然而近期，针对性搜索工作已在远离 Koml\'os-Szemer\'edi 界处识别出极困难的哈密顿圈问题实例。该研究中使用的回溯算法为 Vandegriend-Culberson 算法，其据称是所有哈密顿回溯算法中最高效的。本文中，我们对 1877 至 2016 年间描述的最佳已知回溯算法进行了统一的大规模定量比较。我们证实了所有回溯算法在 Koml\'os-Szemer\'edi 界处均为困难区域的猜测，同时也确认当以消耗计算时间衡量时 Vandegriend-Culberson 确实是最优算法。然而以递归效率衡量时，Frank Rubin 近半个世纪前的算法表现最佳。在更一般的算法评估中，我们猜想边剪枝与非哈密顿性检查可能主要造就了这些递归节省。但以系统时间衡量时，较稠密的问题实例每次递归需要更多时间。这很可能是由于额外搜索剪枝过程（相对精细）的代价所致。我们提供了大量实验数据，以及所有六种算法的统一单程序实现。所有数据与算法源代码均已公开，供同行进一步使用。