Bézout恒等式与热方程的控制

计算解析Bézout恒等式仍是一项困难任务，其在控制理论中有诸多应用。平坦偏微分方程组为此问题提供了新视角。我们考虑此处一个具有特殊意义的简单情形：长度为$a+b$的杆，两端绝热且在点$x=a$处加热。情形$a=0$是经典的，此时另一端温度$\theta(b,t)$为平坦输出，其参数化为$\theta(x,t)=\cosh((b-x)(\partial/\partial t)^{1/2}\theta(b,t)$。当$a$与$b$为整数且$a$为奇数、$b$为偶数时，系统为平坦的，且平坦输出由Bézout恒等式$f(x)\cosh(ax)+g(x)\cosh(bx)=1$得到，其计算归结为切比雪夫多项式的Bézout恒等式。但该形式并非最高效，更小的表达式$f(x)=\sum_{k=1}^{n} c_{k}\cosh(kx)$可在线性时间内算出。这些结果通过与有限系统的近似（使用经典离散化）进行比较。我们提供了实验计算，以分数序列$b/a$近似非有理值$r$，表明Bézout关系的幂级数似乎收敛。