$\mathbf R^{1+3}$ 上波-Sobolev 空间乘积的图谱

波-Sobolev 空间 $H^{s,b}$ 是定义在 Minkowski 时空 $\R^{1+n}$ 上、基于 $L^2$ 的 Sobolev 空间，其 Fourier 权重适应于 d'Alembert 算子的象征。它们是研究非线性波动方程正则性性质的标准工具，在此类应用中，需要这些空间中的乘积估计。遗憾的是，似乎每遇到一个新的应用，就会出现一些文献中尚未出现的估计，于是人们不得不求助于一套成熟的程序来证明缺失的估计。为了减轻不断“手动”填补此类空白的繁琐工作，我们在此系统性地尝试确定双线性情形下的完整估计集。我们确定了乘积估计 $H^{s_1,b_1} \cdot H^{s_2,b_2} \hookrightarrow H^{-s_0,-b_0}$ 成立的一组必要条件。这些条件在指数 $(s_0,s_1,s_2,b_0,b_1,b_2)$ 的空间 $\R^6$ 中定义了一个多面体 $\Omega$。然后我们证明，在空间维数 $n=3$ 下，$\Omega$ 内部的所有点以及面上除棱外的所有点都给出乘积估计。我们也可以允许棱上的一些点（但非全部），但在此我们不声称得到了精确结果。$n=2$ 和 $n=1$ 的相应结果将另文发表。